有限域 $\mathbb{F}_p$ 上椭圆曲线幂矩的生成函数

Birch 与 Ihara 的开创性工作给出了素数 $p \geq 5$ 时 $\mathbb{F}_{p}$ 上椭圆曲线的 Frobenius 自同态迹的第 $m$ 次幂矩的公式。Kaplan 与 Petrow 近年的工作将这些结果推广到包含同构于固定有限阿贝尔群 $A$ 的子群的椭圆曲线情形。我们重新审视这些公式，并确定了这些第 $m$ 次幂矩的生成函数——zeta 函数 $Z_p(A; t)$ 的一个简洁表达式。特别地，我们发现 $$Z_p(A;t) = \frac{\widehat{Z}_p(A; t)}{\displaystyle \prod_{a \in \textrm{Frob}_p(A)}(1 - at)}$$，其中 $\textrm{Frob}_p(A) := \{ a \colon -2\sqrt{p} \leq a \leq 2\sqrt{p}\, \text{ 且 } a \equiv p+1 \pmod{|A|}\}$，而 $\widehat{Z}_p(A;t)$ 是一个易于计算的多项式，由前 $\Big\lceil\frac{2\lfloor 2\sqrt{p}\rfloor}{|A|}\Big\rceil$ 个幂矩确定。这些有理 zeta 函数有两个自然应用。我们找到了各种同余子群 $\Gamma$ 上 $S_k(\Gamma)$ 中 Hecke 算子迹在权方面的有理生成函数。我们还利用已知的 Hecke 算子迹的同余式证明了幂矩的同余关系。