有限域上的椭圆曲线与迹公式

我们证明了有限域 $k$ 上椭圆曲线点数的幂矩公式，其中曲线的 $k$-点群包含一个选定的子群。这些公式用某些 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ 的同余子群的赫克算子迹来表示这些矩。作为主要技术输入，我们证明了 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ 一族同余子群的艾希勒-塞尔伯格迹公式，该族以 $\Gamma_1(N)$ 和 $\Gamma(N)$ 为特例。我们的公式推广了 Birch 和 Ihara 的结果（平凡子群及全模群的情形），以及作者先前的工作（子群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 和 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ 以及同余子群 $\Gamma_0(2),\Gamma_0(4)$）。我们利用这些公式回答关于固定有限域上椭圆曲线点数的统计问题，推广了 Vl\v{a}du\c{t}、Gekeler、Howe 等人的结果。