关于几何结绳理论中帕利-斯马尔条件

我们证明了与几何结绳理论相关的各种能量函数族在参数化为弧长的结绳子流形上满足帕利-斯马尔条件（PS）。这些能量包括以欧拉-伯努利弯曲能量为线性组合的非局部结绳能量，如 O'Hara 的自斥力势能 $E^{\alpha,p}$、广义切点能量 $\TP^{(p,q)}$ 以及广义积分 Menger 曲率泛函 $\intM^{(p,q)}$。即使是 $\TP^{(p,2)}$ 对于 $p\in (4,5)$ 的切点能量也被证明满足 (PS) 条件。对于所提及的所有能量，我们因此可以证明在任何给定的环境同调类中存在最小化结绳，并证明其希尔伯特梯度流在任意时间下存在，并在时间趋于无穷时收敛于临界结绳。此外，我们证明了所有弧长约束临界结绳的 $C^\infty$ 光滑性，这表明这些临界结绳在固定长度约束下，也是这些能量在更大开放区域（常规结绳）上的临界点。