有限周期多阱势中的低能能带

我们分析了一维势的低能态，该势由 $N$ 个相同的势阱组成，并假设势阱在极小值附近是抛物线形的。通过将极小值附近的精确波函数与势垒中的 WKB 波函数进行匹配，我们找到了一个量子化条件，随后对其进行求解，给出了以势能显式表示的能量本征值公式。此外，我们构造了 $N$ 个局域近似本征态，每个本征态在一个抛物线势阱中与谐振子本征态相匹配，并在假设这些局域态构成正交基的前提下，于局域态张成的子空间中对哈密顿量进行对角化，同样得到了与波函数匹配法相同的能量本征值公式。在大 $N$ 极限下，该公式在首阶近似下重现了数学文献中 Mathieu 方程窄能带宽度的表达式。由于大 $N$ 极限下的 $N$ 阱系统与完全周期系统之间存在差异，我们引入了一个二维模型，其中二次极小值位于具有 $N$ 阶旋转对称性的正 $N$ 边形的顶点上。我们论证了该二维模型的最低能带与完全周期一维系统的紧束缚能带高度相似，即在大 $N$ 极限下大多数本征值是简并的，且本征函数在离散旋转下满足 Bloch 条件。