关于修正的分数阶 Korteweg-de Vries 方程及相关方程
偏微分方程分析
2020-10-13 v1
摘要
本文我们考虑修正的分数阶 Korteweg-de Vries 方程及相关方程(修正的 Burgers-Hilbert 与 Whitham 方程)。相对于通常的分数阶 KdV 方程,它们的优势在于具有动力学不同的散焦情形。我们将区分弱色散情形(相速度在低频处无界且在无穷远处趋于零)与强色散情形(相速度在原点处消失且在无穷远处趋于无穷)。在前一种情形中,非线性双曲效应在大初值下占主导,导致激波形成的可能性,尽管色散效应在小初值下显现并可能发生散射。在后一种情形中,聚焦情形下可能发生有限时间爆破但无激波形成。在散焦情形中,能量次临界情形下预期整体存在与散射,而能量超临界情形下预期有限时间爆破。我们严格建立了弱色散情形下激波的存在性,并显式计算出爆破时间与位置,而强色散情形的多数结果是通过数值模拟对大解得到的。此外,激波形成结果可推广至带某些广义非线性的弱色散方程。我们也将简要评论这些方程的 BBM 版本。
引用
@article{arxiv.2010.05081,
title = {On the modified fractional Korteweg-de Vries and related equations},
author = {C. Klein and J. -C. Saut and Yuexun Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2010.05081},
year = {2020}
}