关于标记匹配与星形超映射的匹配-Jack猜想与超映射-Jack猜想

由 Goulden 和 Jackson 在 1996 年论文中引入的匹配-Jack 猜想与超映射-Jack 猜想（亦称 $b$-猜想）是两个重要公开问题，关联 Jack 对称函数、对称群表示论与组合映射。他们指出，Jack 对称函数的某 Cauchy 和的幂和展开中以及该和的对数中的系数，分别插值于对称群的类代数与双陪集代数的结构常数之间，以及可定向与局部可定向超映射的数目之间。他们进一步提供证据表明，这两族由给定整数 $n$ 的三个划分与 Jack 参数 $\alpha$ 索引的系数，是 $\beta = \alpha-1$ 的具有组合意义的非负整系数多项式。本文致力于其中一个划分等于 $(n)$ 的情形。我们展示了两族系数的若干多项式性质，并在若干重要情形下证明了涉及标记超映射与匹配的超映射-Jack 猜想与匹配-Jack 猜想的一个变体。