Jack 连接系数的多项式性质及 D\'enes 结果的推广

本文致力于计算 Jack 连接系数，这是对对称群群代数的两个经典交换子代数（类代数和双陪集代数）的连接系数的推广。这两类代数结构的连接系数在研究 Schur 多项式和 zonal 多项式，以及对称群的不可约特征标和 zonal 球函数方面具有重要意义。此外，它们在组合学中也扮演着重要角色，因为它们给出了将置换分解为具有给定循环性质的置换乘积的方法数。通常被分开研究的这两族系数共享强烈的相似性质。Jack 连接系数由 Goulden 和 Jackson 于 1996 年首次（部分）引入，提供了一种与 Jack 多项式理论密切相关的自然统一方法；Jack 多项式是对称函数环中由参数 $\alpha$ 索引的一组基，它推广了 Schur 多项式（$\alpha = 1$ 的情形）和 zonal 多项式（$\alpha = 2$ 的情形）。Jack 连接系数也与 Jack 特征标直接相关，后者是对称群特征标和 zonal 球函数的广义观点。Goulden 和 Jackson 猜想这些系数是关于 $\alpha$ 的多项式，并具有所谓的 Matchings-Jack 猜想所指的良好组合性质。在本文中，我们利用 Jack 对称函数理论和 Laplace-Beltrami 算子证明了在某些重要情形下 Jack 连接系数的多项式性质。我们还提供了显式公式，其中包括对 D\'enes 关于将置换最小分解为对换数量的经典公式的推广。