非定向星座的生成级数与Matching-Jack猜想中的边缘和

利用超地图与匹配的描述,Goulden和Jackson给出了以分块多项式表示的 rooted 二部地图生成级数的表达式。我们将此方法推广到最近由Chapuy和Do{\l}\k{e}ga引入的非定向曲面上的星座情形。证明中的一个关键步骤是用匹配元组对星座进行编码。我们考虑使用Jack多项式的星座生成级数的单参数变形,并引入由这些函数在幂和基中展开得到的系数$c^\lambda_{\mu^0,...,\mu^k}(b)$。这些系数由$k+2$个整数分拆和变形参数$b$索引,可视为Goulden和Jackson引入的连接系数在$k\geq1$时的推广。我们证明当取某些边缘和时,这些系数枚举$b$-加权的$k$-匹配元组。这可视为Chapuy和Do{\l}\k{e}ga近期关于星座结果的一个“非 rooted”版本。对于$k=1$,这给出了Goulden和Jackson Matching-Jack猜想的部分回答。Lassale对系数$\theta^{(\alpha)}_\mu(\lambda)$(定义为Jack多项式$J_\lambda^{(\alpha)}$在幂和基中的系数)提出了正性猜想。我们利用本文第二个主要结果给出该猜想在$\lambda$为矩形形状分拆情形下的证明。