Matching-Jack 猜想与 Farahat-Higman 代数中的整性

Goulden 与 Jackson 利用 Jack 多项式引入了二部地图生成级数的一参数变形 $\tau_b$，它推广了随机矩阵 $\beta$-系综的配分函数。Matching-Jack 猜想表明，函数 $\tau_b$ 在幂和基下的系数 $c^\lambda_{\mu,\nu}$ 是变形参数 $b$ 的非负整数多项式。Do{\l}\k{e}ga 与 F\'eray 于 2016 年证明了 Matching-Jack 猜想中的“多项式性”部分，即系数 $c^\lambda_{\mu,\nu}$ 属于 $\mathbb{Q}[b]$。本文中，我们证明“整性”部分，即系数 $c^\lambda_{\mu,\nu}$ 属于 $\mathbb{Z}[b]$。证明基于作者近期的工作，该工作从 Chapuy 与 Do{\l}\k{e}ga 于 2020 年建立的 $b$-猜想的类似结果，推导出边缘和上的 Matching-Jack 猜想。证明中的关键一步涉及与分次 Farahat-Higman 代数的新联系。