不可定向分支覆盖、$b$-Hurwitz 数与多参数 Jack 展开的正性

我们引入了（加权）Hurwitz数的2-Toda tau函数的一个单参数变形，通过将Schur函数形变为Jack对称函数得到。我们证明其系数是变形参数 $b$ 的具有非负整数系数的多项式。这些系数计数由任意曲面（可定向或不可定向）对球面的广义分支覆盖，并带有适当的 $b$-权重，该权重在某种意义下“度量”其不可定向性。值得注意的特例包括不可定向dessins d'enfants，我们证明了迄今为止针对Goulden和Jackson于1996年提出的Matching-Jack猜想和“$b$-猜想”最一般的结果，以及 $\beta$-系综矩阵模型的展开、HCIZ积分的变形，和我们在此引入的 $b$-Hurwitz数——它们是经典（单或双）$b=0$ 时得到的Hurwitz数的 $b$-变形。我们证明中的一个关键作用由配备合适 $b$-权重的不可定向星座组合模型扮演，其配分函数满足一无穷组PDE。这些PDE有两种定义，一种由Lax方程给出，另一种遵循显式组合分解。