具有全度数剖面控制的超地图级数的微分方程

我们考虑了具有受控顶点度、超边度和面度的有向和无向超地图的生成级数。众所周知，这些级数具有以 Schur 和 Zonal 对称函数表示的自然展开，并且在某些特定特化下，它们满足著名的 KP 和 BKP 方程。我们证明了超地图的全生成级数满足一族微分方程。我们首先给出了一个证明，该证明适用于与 Jack 多项式相关的这些级数的 $\alpha$ 变形。该证明基于最近使用微分算子构造 Jack 特征标的一个公式。我们还为可定向情况提供了组合证明。我们的方法同样适用于控制所有颜色顶点度的 $k$-星座级数。换言之，我们得到了一个方程，用于控制任意数量点上完全分歧剖面下 Hurwitz 数（及其 $\alpha$ 变形）的生成函数。此类方程即使在可定向情况下也是全新的。