单胞二分地图$b$-猜想中的最高次部分

Goulden与Jackson（1996）利用Jack对称函数引入了带有附加参数 $\beta$ 的多元生成级数 $\psi(x, y, z; 1, 1+\beta)$，该参数可解释为有根二分地图生成级数的连续变形。事实上，它具有如下性质：当 $\beta \in \{0,1\}$ 时，它分别退化为有根、可定向（一般，即可定向或不可定向）二分地图生成级数。他们提出如下猜想：$\psi$ 的系数是 $\beta$ 的具有正整数系数的多项式，可写为有根一般二分地图的多元生成级数，其中 $\beta$ 的指数是一个整值统计量，在某种意义下“度量相应二分地图的非可定向性”。我们证明，除了 $\beta = 0,1$ 这两个系数 $\psi$ 已有组合解释的特值外，存在第三个特值 $\beta = -1$，此时由两个整数划分 $\mu,\nu$ 及一个仅含单部分的划分所索引的 $\psi$ 的系数由有根、可定向二分地图给出，其面度数任意，黑/白顶点度数分别由 $\mu$/$\nu$ 给出。我们证明该赋值符号除外对应于 $\psi$ 系数的最高次部分。作为推论，我们引入一组地图的整值统计量 $(\eta)$，使得关于 $\eta$ 的仅有一个面（称为单胞）的有根二分地图的多元生成级数的最高次部分给出了 $\psi$ 相应系数的最高次部分。最后，我们证明 $b$-猜想对所有亏格不超过 $2$ 的有根单胞二分地图成立。