具有规定对称性的 Jack 多项式及其部分聚类性质

我们研究了具有参数 $\alpha$ 的 $N$ 变量 Jack 多项式，这些多项式关于变量的两个不相交子集具有规定的对称性。例如，这些多项式可以表现出 AS 型对称性，意味着它们在前 $m$ 个变量中是反对称的，而在剩余的 $N-m$ 个变量中是对称的。我们的主要目标之一是扩展关于对称 Jack 多项式的近期工作 [arXiv:0711.3062, arXiv:1007.2692, arXiv:1303.4126]，并证明具有规定对称性的 Jack 多项式也具有大小为 $k$、阶数为 $r$ 的聚类，即当 $k+1$ 个变量重合时，多项式以 $r$ 阶 vanish。我们首先证明了针对通用 $\alpha$ 的一些一般性质，例如它们作为 Sutherland 型算子的三角本征函数的唯一性，以及在无穷多变量的情形下其类似物的存在性。随后我们将注意力转向 $\alpha=-(k+1)/(r-1)$ 的情形。我们表明，对于每个三元组 $(k,r,N)$，存在对索引集（称为 superpartitions）的可容许性条件，这些条件保证了多项式的正则性和唯一性。这些条件也被用于建立非对称 Jack 多项式的类似性质。结果表明，由 $(k,r,N)$-可容许 superpartitions 索引的具有任意规定对称性的 Jack 多项式，容许大小为 $k=1$ 且阶数 $r\geq 2$ 的聚类。在文章的最后部分，我们找到了 AS 型规定对称性的 Jack 多项式在平移下保持不变的充要条件。这使得我们能够找到特殊的 superpartitions 族，从而蕴含大小为 $k>1$ 且阶数 $r\geq 2$ 的聚类的存在性。