关于具有自相互作用的量子 BBGKY 层级的 Klainerman-Machedon 猜想

我们考虑对应于 $N$ 粒子 Schr"{o}dinger 方程的 3D 量子 BBGKY 层级。假设对相互作用为 $N^{3\beta -1}V(N^{\beta}\bullet)$。对于相互作用参数 $\beta \in(0,\frac23)$，我们证明当 $N\rightarrow \infty$ 时，BBGKY 层级解的极限点满足 Klainerman-Machedon 于 2008 年猜想的时空界。这使得可以应用 Klainerman-Machedon 唯一性定理，从而意味着当 $N$ 体初始数据可分解时，极限被唯一确定为 Gross-Pitaevski 方程解的张量积。在该方向上，3D 中的首个结果由 T. Chen 和 N. Pavlovi\'{c} (2011) 针对 $\beta \in (0,\frac14)$ 获得，随后由 X. Chen (2012) 针对 $\beta\in (0,\frac27]$ 获得。我们在 X. Chen 的方法基础上，通过在势能部分的估计中应用频率局域化的 Klainerman-Machedon 坍缩估计和端点 Strichartz 估计，将范围扩展至 $\beta\in (0,\frac23)$。总体而言，这为 Erd"os-Schlein-Yau (2007) 的平均场程序提供了一种替代方法，后者的唯一性证明基于 Feynman 图组合学。