关联结构、多体散射过程与 Gross-Pitaevskii 层级的推导

我们考虑三维空间中 $N$ 个玻色子的动力学。假设对相互作用由 $N^{3\beta -1}V(N^{\beta }\cdot )$ 给出。通过研究相关的多体波算子，我们引入了一个 BBGKY 层级，该层级从一开始就计及了多体演化所产生的所有粒子间奇异关联结构。在对 $N$ 体波函数假设能量条件的情况下，对于 $\beta \in \left( 0,1\right]$，我们推导出了具有二体相互作用的 Gross-Pitaevskii 层级。特别地，我们确立了在 $N\rightarrow \infty$ 极限下，若 $k\geqslant 3$，所有 $k$ 体散射过程均消失，从而直接回答了 Erd\"{o}s、Schlein 和 Yau 在 [31] 中提出的问题。此外，这个新的 BBGKY 层级与普通 BBGKY 层级具有相同的极限点：对于 $\beta \in \left( 0,1\right)$ 为强收敛，对于 $\beta =1$ 为弱收敛。由于这个新的 BBGKY 层级将问题从二体估计转化为我们有估计可用的较弱三体估计（从而实现 $\beta <1$），它使我们能够证明普通 BBGKY 层级的所有极限点都满足 Klainerman 和 Machedon 在 [47] 中针对 $\beta \in \left( 0,1\right)$ 猜想的空间 - 时间界。