具有大相互作用势的 Gross-Pitaevskii 方程的严格推导

考虑三维空间中 $N$ 个玻色子组成的系统，它们通过排斥性短程对势 $N^2V(N(x_i-x_j))$ 相互作用，其中 $\bx=(x_1, ..., x_N)$ 表示粒子的位置。设 $H_N$ 为系统的哈密顿量，$\psi_{N,t}$ 为 Schr"odinger 方程的解。假设初始数据 $\psi_{N,0}$ 满足能量条件 $$< \psi_{N,0}, H_N \psi_{N,0} > \leq C N >.$$ 且单粒子密度矩阵在 $N \to \infty$ 时收敛于一个投影算子。那么，我们证明 $\psi_{N,t}$ 的 $k$-粒子密度矩阵在 $N \to \infty$ 极限下发生因子化。此外，单粒子轨道波函数满足含时 Gross-Pitaevskii 方程，这是一个立方非线性 Schr"odinger 方程，其耦合常数与势 $V$ 的散射长度成正比。在 \cite{ESY} 中，我们在相互作用势 $V$ 足够小的条件下证明了相同的结论；在本文中，我们开发了一种新方法，不再需要对势的大小进行限制。