关于含时Gross-Pitaevskii方程和Hartree方程

我们关注在含时外场作用下，$N$个相互作用的玻色子的薛定谔方程的解$\Psi_t$，其中相互作用的程长和耦合常数随$N$的标度方式使得每个粒子的相互作用能大致保持恒定。设$\mathcal{N}^{\phi_0}$是关于某个$\phi_0\in L^2(\mathbb{R}^3\to\mathbb{C})$的粒子数算符。假设初始波函数的相对粒子数$N^{-1}<\Psi_0,\mathcal{N}^{\phi_0}\Psi_0>$在$N\to\infty$时收敛于1。我们将证明，可以找到一个$\phi_t\in L^2(\mathbb{R}^3\to\mathbb{C})$，使得$\lim_{N\to\infty}N^{-1}<\Psi_t,\mathcal{N}^{\phi_t}\Psi_t>=1$，并且$\phi_t$——依赖于相互作用程长的标度——是Gross-Pitaevskii方程或Hartree方程的解。我们还将证明，在$\phi_t$的额外衰减条件下，该极限在$t<\infty$上是一致的，并且相对粒子数的收敛性蕴含了$\Psi_t$的$k$粒子密度矩阵的收敛性。