Gross-Pitaevskii 方程作为弱耦合玻色子的平均场极限

我们考虑由对势 $N^{-1} V_a(x_i-x_j)$ 相互作用的 $N$ 玻色子系统,其中 $V_a (x) = a^{-3} V (x/a)$。我们用 $\psi_{N, t}$ 表示 $N$ 粒子 Schrödinger 方程的解。回忆一下,Gross-Pitaevskii (GP) 方程是一个非线性 Schrödinger 方程,而 GP 族是一个无穷 BBGKY 方程族,使得若 $u_t$ 解 GP 方程,则 $k$ 粒子密度矩阵族 $\{\otimes_k u_t, k\ge 1 \}$ 解 GP 族。在假设 $a = N^{-\eps}$ 且 $0 < \eps < 3/5$ 下,我们证明当 $N\to \infty$ 时,$\psi_{N,t}$ 的 $k$ 粒子密度矩阵的极限点是 GP 族的解,其中 GP 方程非线性项中的耦合常数由 $\int V(x) dx$ 给出。该族解的唯一性仍是一个开放问题。