玻色-爱因斯坦凝聚体动力学的 Gross-Pitaevskii 层级的推导

考虑三维单位环面上的 $N$ 个玻色子系统，通过成对势 $N^2V(N(x_i-x_j))$ 相互作用，其中 $\bx=(x_1, ..., x_N)$ 表示粒子位置。假设初值 $\psi_{N,0}$ 满足条件 $$< \psi_{N,0}, H_N^2 \psi_{N,0} > \leq C N^2$$ 其中 $H_N$ 为玻色系统的哈密顿量。若 $\psi_{N,0}= W_N \phi_{N,0}$，其中 $W_N$ 是 $H_N$ 的近似基态、$\phi_{N,0}$ 为正则，则该条件满足。令 $\psi_{N,t}$ 表示具有哈密顿量 $H_N$ 的薛定谔方程的解。Gross 与 Pitaevskii 提议用非线性薛定谔方程即 Gross-Pitaevskii（GP）方程来刻画此类系统的动力学。GP 层级是一组无穷 BBGKY 方程层级，使得若 $u_t$ 解 GP 方程，则 $k$ 粒子密度矩阵族 $\{\otimes_k u_t, k\ge 1 \}$ 解 GP 层级。我们证明当 $N\to \infty$ 时 $\psi_{N,t}$ 的 $k$ 粒子密度矩阵的极限点是 GP 层级的解。该层级解的唯一性仍为开放问题。我们的分析要求 $N$ 玻色子动力学由一修正哈密顿量描述，该哈密顿量在至少三个粒子进入直径远小于典型粒子间距的区域时切断成对相互作用。我们的证明可推广到仅禁止至少 $n$ 个粒子靠近的修正哈密顿量，对任意固定 $n$ 成立。