从量子多体演化严格推导二维立方聚焦 NLS
偏微分方程分析
2017-08-23 v2 数学物理
math.MP
摘要
我们考虑一个具有谐振外场束缚和 Gross-Pitaevskii 标度下*吸引*粒子间相互作用的 玻色子二维含时量子系统。我们导出了物质稳定性类型的估计，表明能量的 次方能控制解在 粒子上的 Sobolev 范数。对于吸引相互作用，该估计比排斥相互作用情形更新且更困难。在证明中，我们使用了文献 [49] 中有限维量子 de Finetti 定理的一个版本。证明中发挥了高粒子数平均效应的作用，而这在排斥情形的相应估计中是不需要的。该先验界使我们能够证明相应的 BBGKY 序列收敛于 GP 极限，如同许多先前处理排斥相互作用情形的工作中所做的那样。作为结果，我们得到*聚焦*非线性 Schrödinger 方程是具有吸引原子间相互作用和渐近因式分解初始数据的二维含时量子多体系统的平均场极限。需要对原子间相互作用势的 范数大小作一假设，该假设对应于二维 Gagliardo-Nirenberg 不等式中的最佳常数，尽管该不等式并不直接相关，因为我们处理的是迹而非幂。
引用
@article{arxiv.1508.07675,
title = {The Rigorous Derivation of the 2D Cubic Focusing NLS from Quantum Many-body Evolution},
author = {Xuwen Chen and Justin Holmer},
journal= {arXiv preprint arXiv:1508.07675},
year = {2017}
}