关于聚焦与散焦Gross-Pitaevskii层级的Cauchy问题

我们考虑 $\R^d$（$d\geq1$）上具有三次、五次、聚焦和散焦相互作用的动力学Gross-Pitaevskii (GP)层级。对于聚焦和散焦两种情形以及任意 $d\geq1$，我们在边沿密度矩阵序列的特定Sobolev型空间 $\cH_\xi^\alpha$ 中证明了解的局部存在性与唯一性。正则性条件为：若 $d=1$ 则 $\alpha>\frac{1}{2}$；若 $d\geq2$ 且 $(d,p)\neq(3,2)$ 则 $\alpha>\frac{d}{2}-\frac{1}{2(p-1)}$；若 $(d,p)=(3,2)$ 则 $\alpha\geq1$，其中 $p=2$ 对应三次GP层级，$p=4$ 对应五次GP层级；参数 $\xi>0$ 是任意的，决定了问题的能量尺度。这一结果包含了对 $d=3$ 情形三次GP层级中Klainerman和Machedon猜想的先验时空界的证明。在散焦情形中，在先验能量界假设下，我们证明了三次GP层级在 $1\leq d\leq3$ 时以及五次GP层级在 $1\leq d\leq2$ 时的整体时间解的存在性与唯一性。对于聚焦GP层级，我们证明了爆破率的下界。此外，在对应于 $L^2$ 临界性的情形中，无论聚焦还是散焦，均建立了伪共形不变性。所有这些结果在不假设初始条件可因式分解的情况下均成立。