低复杂度展开的实数 irrationality 指数的研究

设 $\xi$ 为一个实数，$b \ge 2$ 为一个整数。我们研究 $\xi$ 的 irrationality 指数与其 $b$ 进制展开 $\mathbf{x}$ 的子词复杂度 $p(n, \mathbf{x})$ 之间的关系，其中 $p(n, \mathbf{x})$ 计算长度为 $n$ 的 $\mathbf{x}$ 中不同块的数量，$n \ge 1$。若 $\xi$ 的 irrationality 指数等于 2，这是几乎所有实数 $\xi$ 的情况，我们证明序列 $(p(n, \mathbf{x}) / n)_{n \ge 1}$ 的上极限至少为 4/3。该证明基于对低复杂度无限词的 Rauzy 图演化进行的深入研究。