以欧几里得之精神化简根式

设 $p$ 为 $\ge 3$ 的奇自然数。受欧几里得《几何原本》中结果的启发，我们将次数为 $2p$ 的无理数 $$y=\sqrt[p]{d+\sqrt R}$$ 表示为次数 $\le p$ 的无理数的多项式函数。在某些情形中 $y$ 由简单根式表达。这种次数的化简展现出所涉多项式极为规律的模式。证明基于超几何求和，特别是 Zeilberger 算法。