乘性$p$-adic逼近的经典与一致指数

设$p$为素数，$\xi$为一个无理$p$-adic数。其无理指数$\mu (\xi)$是满足如下不等式组 $$0 < \max\{|x|, |y|\} \le X, \quad |y \xi - x|_{p} \leq X^{-\hmu}$$ 对任意大实数$X$存在整数解$x, y$的实数$\mu$的上确界。其乘性无理指数$\tmu (\xi)$(相应地，一致乘性无理指数$\htmu (\xi)$)是满足如下不等式组 $$0 < |x y|^{1/2} \le X, \quad |y \xi - x|_{p} \leq X^{-\hmu}$$ 对任意大(相应地，对每个充分大)实数$X$存在整数解$x, y$的实数$\hmu$的上确界。不难证明$\mu (\xi) \le \tmu(\xi) \le 2 \mu (\xi)$且$\htmu (\xi) \le 4$。我们确立乘性无理指数$\tmu$与无理指数$\mu$之比可取$[1, 2]$中的任意给定值。此外，我们证明对每个$p$-adic数$\xi$有$\htmu (\xi) \le (5 + \sqrt{5})/2$。