关于 Lévy 过程的首达面积

令 $X(t)= x - \mu t + \sigma B_t - N_t$ 为从 $x >0$ 出发的 L$\acute{\text{e}}$vy 过程，其中 $\mu \ge 0, \ \sigma \ge 0, \ B_t$ 为标准布朗运动，$N_t$ 为从零出发、强度 $\theta >0$ 的齐次泊松过程。我们研究首次低于零的首达时 $\tau (x)$ 与首达面积 $A(x)$（即 $X$ 直至时刻 $\tau (x)$ 扫过的面积）的联合分布。特别地，我们建立了 $\tau(x)$ 与 $A(x)$ 的拉普拉斯变换及其联合矩带外部条件的差分-微分方程。在一特殊情形 $(\mu = \sigma =0)$ 下，我们给出了递归求解任意整数 $m$ 与 $n$ 的矩 $E[\tau(x)^m A(x)^n]$ 的算法；此外，我们得到了 $X$ 直至时刻 $\tau(x)$ 的时间平均的期望值。