关于第一个 Banach 问题：绝对 $\kappa$-Borel 集到紧空间上的凝聚

连续统可以任意大，且密度 $\kappa$（$\aleph_1<\kappa<\mathfrak{c}$）的绝对 $\kappa$-Borel 集 $X$ 不凝聚到紧度量空间上，这是一致的。连续统可以任意大，且密度 $\kappa$（$\kappa\leq\mathfrak{c}$）并含有权为 $\kappa$ 的 Baire 空间的闭子空间的绝对 $\kappa$-Borel 集 $X$ 凝聚到紧空间上，这也是一致的。特别地，应用 Brian 在模型论中的结果，我们得到如下意外结果：给定任意 $A\subseteq \mathbb{N}$ 且 $1\in A$，存在一个力迫扩张，其中每个含有权为 $\aleph_n$ 的 Baire 空间闭子空间的绝对 $\aleph_n$-Borel 集凝聚到紧空间上，当且仅当 $n\in A$。