关于弱三波相互作用非线性薛定谔方程向量解的存在性

我们研究了一个具有三波相互作用的非线性薛定谔系统：\n\begin{equation*}\n\left\{\begin{aligned}\n& -\Delta u_1 = f_1(u_1) + \alpha u_2u_3 \quad \text{在 } \R^N \text{ 中}, \\\n& -\Delta u_2 = f_2(u_2) + \alpha u_3u_1 \quad \text{在 } \R^N \text{ 中}, \\\n& -\Delta u_3 = f_3(u_3) + \alpha u_1u_2 \quad \text{在 } \R^N \text{ 中},\n\end{aligned}\right.\n\end{equation*}\n其中 $3\leq N\leq 5$，$\alpha\in \R$，每个非线性项 $f_i(\xi)$ 满足 Berestycki-Lions 条件。设 $S_i$ 表示标量方程 $-\Delta u = f_i(u)$ 在 $H_{\rm rad}^1(\R^N)$ 中所有最小能量解的集合。系统的解若其所有分量非平凡则称为向量解。我们建立了两个不同渐近行为族的向量解 $\{\vec{u}_\alpha\}$，当 $\alpha \to 0$ 时。其中一族满足 ${\rm dist}(\vec{u}_{\alpha},S_1\times S_2\times S_3) \to 0$，另一族满足 ${\rm dist}(\vec{u}_{\alpha},S_1\times S_2\times \{0\}) \to 0$。相比之下，我们证明不存在满足 ${\rm dist}(\vec{u}_{\alpha},S_1\times \{0\}\times \{0\}) \to 0$ 的向量解族。这些结果共同给出了当三波相互作用较弱时向量解渐近结构的完整描述。