广义簇复形与 Catalan 超平面排列中正胞腔的计数

设 $\Phi$ 为一个不可约晶体根系，其 Weyl 群为 $W$，余根格为 $\check{Q}$，张成欧几里得空间 $V$。令 $m$ 为正整数，$\aA^m_\Phi$ 为 $V$ 中形如 $(\alpha, x) = k$（其中 $\alpha \in \Phi$，$k = 0, 1,...,m$）的超平面排列。已知 $\aA^m_\Phi$ 的有界支配区域数 $N^+ (\Phi, m)$ 等于 S. Fomin 与 N. Reading 针对对 $(\Phi, m)$ 所关联的广义簇复形的正部 $\Delta^m_+ (\Phi)$ 的面数。我们在 $\aA^m_\Phi$ 的有界支配区域集合上定义一个统计量，并猜想 $N^+ (\Phi, m)$ 的相应细化与 $\Delta^m_+ (\Phi)$ 的 $h$-向量一致。我们计算了经典根系以及当 $m=1$ 时所有根系的这些细化数，并在 $\Phi$ 为 $A$、$B$ 或 $C$ 型以及 $m=1$ 时验证了该猜想。我们给出了这些数在以下方面的若干组合解释：根系偏序集中的序理想链、$W$ 在商 $\check{Q} / (mh-1) \check{Q}$ 上作用的轨道，以及某单纯形内的余根格点，类似于第一作者就 $\aA^m_\Phi$ 所有支配区域集合所给的解释。在特例 $m=1$ 时，我们还给出了基于 $\Phi$ 的根系偏序集中序滤子的对偶解释。