一次形式的消失乘积与主函数的临界点

设 $\A$ 是 $\C^\ell$ 中的一个仿射超平面排列，其补集为 $U$。设 $f_1, \..., f_n$ 是定义 $\A$ 中超平面的线性多项式，$A^\cdot$ 是由一次形式 $d \log f_1, \..., d \log f_n$ 生成的微分形式代数。对每个 $l \in \C^n$，我们在 $U$ 上关联主函数 $\Phi=\Phi_l = \prod_{i=1}^n f_i^{l_i}$ 和闭对数一次形式 $\omega= d \log \Phi$。我们假设 $\omega$ 是 $A^1$ 的一个有理线性子空间 $D$（维数 $q>1$）中的元素，使得乘法映射 $\bigwedge^k(D) \to A^k$ 在 $p<k\leq q$ 时为零。在此假设下，我们证明 $\Phi$ 的临界轨迹 $\crit(\Phi)$ 的每个分支的余维数至多为 $p$，并且 $\crit(\Phi)$ 是有理主函数水平集交集的并集。我们给出了保证 $\crit(\Phi)$ 非空且每个分支的余维数等于 $p$ 的条件，这些条件用多项式主函数之间的合关系表示。如果 $\A$ 是 $p$-一般的，那么 $D$ 包含在 $p$ 次共振簇 $\R^p(\A)$ 中——在此意义上，本文补充了先前关于主函数共振和临界轨迹的工作。任何排列都是 1-一般的；在 $p=1$ 的情况下，我们给出了当 $l$ 位于 $A^1$ 的各向同性子空间 $D$ 中时 $\crit(\Phi_l)$ 的精确描述，这使用了与 $D\subseteq \R^1(\A)$ 对应的 $\A$ 上的多重网络结构。我们以 Hessian 排列为例详细阐述了这一点。最后，对于任意的 $p$ 和 $\A$，我们利用热带隐式化，根据 $\A$ 的嵌套集，建立了一组积分一次形式张成这样一个子空间的必要充分条件。