$\mathbb{B}$ 值单演函数及其在二维弹性位移边值问题中的应用

考虑复数域上基为 $\{e_1,e_2\}$ 且满足条件 $(e_1^2+e_2^2)^2=0$，$e_1^2+e_2^2\ne 0$ 的交换代数 $\mathbb{B}$。设 $D$ 为 $xOy$ 中的一个区域，$D_{\zeta}:=\{xe_1+ye_2:(x,y) \in D\}\subset \mathbb{B}$。我们称 $\mathbb{B}$ 值函数 $\Phi \colon D_{\zeta} \longrightarrow \mathbb{B}$，$\Phi(\zeta)=U_{1}\,e_1+U_{2}\,ie_1+ U_{3}\,e_2+U_{4}\,ie_2$，$\zeta=xe_1+ye_2$，$U_{k}=U_{k}(x,y)\colon D\longrightarrow \mathbb{R}$，$k=\bar{1,4}$，在 $D_{\zeta}$ 中是单演的，当且仅当 $\Phi$ 在 $D_{\zeta}$ 中的每一点都有经典导数。每个 $U_k$，$k=\bar{1,4}$，都是 $D$ 中的双调和函数。在各向同性体 $D$ 中，通过给定位移 $u$、$v$ 的偏导数 $\frac{\partial u}{\partial v}$、$\frac{\partial v}{\partial y}$ 在 $\partial D$ 上的边界值来寻找弹性平衡的问题，等价于单演函数的边值问题，即通过给定的 $U_1$ 和 $U_4$ 的边界值来寻找 $\Phi$。