论代数结构超积上的同余关系

设 $I$ 为非空集合，$\mathcal{D}$ 为 $I$ 上的超滤。对于相似的代数结构 $B_i$（$i\in I$）令 $\Pi (B_i|i\in I)$ 和 $\Pi _{\mathcal{D}}(B_i|i\in I)$ 分别表示 $B_i$ 的直积和超积。令 $\mathcal{D}^*$ 表示 $\Pi (B_i|i\in I)$ 上的超积同余。令代数结构 $B$ 上所有同余的 $\wedge$-半格记为 ${\bf Con}(B)$。本文中我们证明，对于任意相似的代数结构 $A_i$（$i\in I$），存在 $\Pi _{\mathcal{D}}({\bf Con}(A_i)|i\in I)$ 到 ${\bf Con}(\Pi _{\mathcal{D}}(A_i|i\in I)$ 的一个嵌入 $\Phi$。我们还证明，对于每一个 $\sigma \in \Pi ({\bf Con}(A_i)|i\in I)$，因子代数 $\Pi _{\mathcal{D}}(A_i|i\in I)/\Phi (\sigma /\mathcal{D}^*)$ 同构于 $\Pi _{\mathcal{D}}(A_i/\sigma (i)|i\in I)$。此外，若 $A$ 为代数结构，$\sigma(i)\in {\bf Con}(A)$，$i\in I$ 且 $\mathcal{D}=\{ K_j| j\in J\}$ 则 $\Phi (\sigma /\mathcal{D}^*)$ 在 $A$ 上的限制等于 $\vee _{j\in J}(\wedge _{k\in K_j}\sigma (k))$。