消逝周期的主题

设 $\lambda \in \mathbb{Q}^{*+}$，考虑如下类型的多值形式函数 $$\phi(s) := \sum_{j=0}^k \ c_j(s).s^{\lambda + m_j}.(\Log\, s)^j$$ 其中 $c_j \in \C[[s]]$，$m_j \in \mathbb{N}$，$j \in [0,k-1]$。与这样的 $\phi$ 相关联的"主题"是以 $\phi$ 为生成元的"极小滤过微分方程"，其精确含义在本文中予以阐明。我们研究这类对象，并证明在 Bernstein 多项式固定的假设下，它们的同构类可以由有限个复数刻画。对于给定的 $\lambda$，固定 Bernstein 多项式等价于固定与上述几何情形中单值群对数相关联的有限个整数集合。我们的目的是构造某些解析不变量，例如在以下情形中：设 $f : X \to D$ 是定义在复流形 $X$ 上、取值于圆盘 $D$ 的正常全纯函数。假设唯一的临界值是 $0 \in D$，我们将此情形视为紧复流形族退化为奇异紧复空间 $f^{-1}(0)$。对于 $X$ 上满足 $d\omega = 0 = df \wedge \omega$ 的光滑 $(p+1)$-形式 $\omega$，以及在一般纤维 $f^{-1}(s_0)$，$s_0 \in D \setminus \{0\}$ 中选取的消逝 $p$-闭链 $\gamma$，我们关联一个消逝周期 $\phi(s) := \int_{\gamma_s} \ \omega\big/df$，当 $\gamma$ 选在单值群对应于特征值 $e^{2i\pi.\lambda}$ 的 $H_p(f^{-1}(s_0), \C)$ 的谱子空间中时，该周期具有上述形式。这里 $(\gamma_s)_{s \in D^*}$ 是从 $\gamma$ 的选取得到的 $f$ 的纤维中的水平多值 $p$-闭链族。所得结果允许例如，当我们有一族这样的退化全纯依赖于参数时，关联参数空间的"自然"全纯函数。