辫状排列的细化与双参数 Fuss-Catalan 数
组合数学
2023-09-12 v1
摘要
ℝ^n 中的超平面排列是有限个仿射超平面的集合。计数超平面排列的区域是枚举组合学中的一个活跃研究方向。在本文中，我们考虑 ℝ^n 中的排列 𝒜_n^(m)，其定义为 {x_i=0 ∣ i ∈ [n]} ∪ {x_i=a^k x_j ∣ k ∈ [-m,m], 1≤ i<j ≤ n}，其中固定 a>1。结果表明，这一系列排列与已被充分研究的 A 型扩展 Catalan 排列密切相关。我们证明 𝒜_n^(m) 的区域数是称为双参数 Fuss-Catalan 数的 Catalan 数的某种推广。随后我们给出了这些区域与某些装饰 Dyck 路径之间的双射。我们还计算了特征多项式并给出了其系数的组合解释。我们的大部分结果也通过将其与辫状排列的形变相关联而推广到 𝒜_n^(m) 的子排列。
引用
@article{arxiv.2202.12231,
title = {Refinements of the braid arrangement and two parameter Fuss-Catalan numbers},
author = {Priyavrat Deshpande and Krishna Menon and Writika Sarkar},
journal= {arXiv preprint arXiv:2202.12231},
year = {2023}
}
备注
18 pages, 9 figures, 1 table. Comments welcome