树的枝统计：辫形排列特征多项式系数的组合解释

$\mathbb{R}^n$ 中的超平面排列是一组有限的仿射超平面。区域是这些超平面补集的连通分支。由 Zaslavsky 的一个定理，超平面排列的区域数等于其特征多项式系数之和。包含平行于由方程 $x_i - x_j = 0$ 定义的子空间的超平面的排列构成一个重要类别，称为辫形排列的形变。在最近的工作中，Bernardi 证明了某些形变的区域与某些带标号树一一对应。在本文中，我们在这些树上定义了一种统计，使得其分布由特征多项式的系数给出。特别地，我们的统计适用于广为研究的族，如扩展 Catalan、Shi、Linial 和半序。