盒装阈值排列的区域计数

在本文中，我们考虑 $\mathbb{R}^n$ 中的超平面排列，其超平面为 $\{x_i + x_j = 1\mid 1\leq i < j\leq n\}\cup \{x_i=0,1\mid 1\leq i\leq n\}$。我们称之为\emph{盒装阈值排列}，因为我们证明了该排列的有界区域包含于一个 $n$-立方体中，并且与 $n$ 个顶点上的带标号阈值图一一对应。该排列的区域计数问题早先由 Joungmin Song 研究过。他通过将系数与某些图的计数相关联，确定了该排列的特征多项式。在此，我们提供双射论证以确定区域的数量。特别地，我们构造了集合 $\{-n,\dots, n\}\setminus\{0\}$ 的某些带符号划分，并构造了 $n$ 个顶点上的着色阈值图，并证明这两类对象都与盒装阈值排列的区域构成双射。我们独立地计数这些对象，并给出区域数的闭式公式。