按 Weyl 锥枚举 Shi 排布的区域

给定 Shi 排布 $\mathcal{A}_\Phi$,众所周知其区域总数由 $\Phi$ 型停车数计数,而主导锥中的区域总数由 $\Phi$ 型 Catalan 数给出。对于后者,Shi 给出了 $\Phi$ 的根偏序集中的反链与主导锥中区域之间的双射。该结果后来由 Armstrong、Reiner 和 Rhoades 推广,他们给出了 $\mathcal{A}_\Phi$ 中任意 Weyl 锥 $C_w$ 中所含区域数与根偏序集的某些子偏序集之间的双射。在本文中,我们基于这些结果进行拓展,利用与 Shi 图相关的某些有向图中的路径,给出 $C_w$ 中区域精确数量的行列式公式。