关于 $k$-Catalan 排列的地板与天花板

晶体根系 $\Phi$ 的 $k$-Catalan 排列的主导区域集合是一个被广泛研究的对象，其数量由 Fu{\ss}-Catalan 数 $Cat^{(k)}(\Phi)$ 给出。通过考虑主导区域的地板和天花板来细化这一计数是很自然的。Armstrong 的一个猜想指出，按特定高度的地板数量对主导区域进行计数，与按相同高度的天花板数量对主导区域进行计数，会得到相同的分布。我们利用一个双射证明了这一猜想，该双射提供了甚至更细化的计数信息。