r-Shi 与 r-Catalan 排布上的双射

针对 $\Bbb{R}^n$ 中的 $r$-Shi 排布与 $r$-Catalan 排布，我们为每个区域引入一个立方矩阵，以统一方式建立两个双射。首先，立方矩阵列切片中最小正项的位置给出了从 $r$-Shi 排布的区域到 $O$-根标记 $r$-树的双射。其次，立方矩阵列切片中正项的个数给出了从 $r$-Catalan 排布的区域到置换与 $r$-Dyck 路径配对的双射。此外，立方矩阵行切片中正项的个数将恢复 Pak-Stanley 标记，即从 $r$-Shi 排布的区域到 $r$-停车函数的著名双射。