关于闭超曲面与奇异自收缩子的熵

自收缩子是 $\mathbf{R}^{n+1}$ 中平均曲率流的特殊解，它们通过同向收缩演化；它们作为该流的奇点模型。Colding-Minicozzi 引入的超曲面熵是平均曲率流的 Lyapunov 泛函，并且是他们的一般平均曲率流理论的基础。在本文中，我们证明了 Colding-Ilmanen-Minicozzi-White 的一个猜想，即 $\mathbf{R}^{n+1}$ 中的任何闭超曲面的熵至少与球面的熵相同，在任何维度 $n$ 下均成立。此前，Bernstein-Wang 利用精心构造的弱流在 $n\leq 6$ 的情况下确立了该结果。本文的主要技术结果是将 Colding-Minicozzi 对熵稳定自收缩子的分类推广到了奇异情形。特别地，我们证明了任何其奇异集满足 Wickramasekera 的 $\alpha$-结构假设的熵稳定自收缩子必定是圆柱面 $\mathbf{S}^k(\sqrt{2k})\times \mathbf{R}^{n-k}$。