量子层的离散谱

考虑一个被限制在常宽度弯曲层中的量子粒子，该层构建于嵌入 $\mathbb{R}^3$ 的完备、非紧、$\mathcal C^2$ 光滑曲面之上。我们假设该曲面在无穷远处渐近平坦，即第二基本形式在无穷远处消失，且该曲面不是全测地的。这一几何设置被称为量子层。我们考虑该量子粒子由Dirichlet Laplacian作为Hamiltonian所支配。我们的工作关注于本征谱下方束缚态的存在性，这意味着离散谱的存在。我们首先证明：若Gauss曲率可积且曲面弱$\kappa$-抛物，则离散谱非空。该结果蕴含：若总Gauss曲率非正，则离散谱非空。其次我们证明：若Gauss曲率非负，则离散谱非空。最后我们证明：若曲面为抛物的，则当层足够薄时离散谱非空。