从统计视角看中间长波方程的深水与浅水极限

（由于arXiv对摘要字符数的限制，此处无法显示完整摘要。请参阅论文中的摘要。）我们从统计角度研究了带深度参数 $\delta > 0$ 的中间长波方程（ILW）在深水极限（$\delta \to \infty$）和浅水极限（$\delta \to 0$）下的收敛问题。特别地，我们建立了ILW在深水极限和浅水极限下不变Gibbs动力学的收敛性。为此，我们首先构造了ILW在 $0 < \delta < \infty$ 时的Gibbs测度。由于它们支撑于分布上，需要进行重正化。借助Wick重正化，我们完成了ILW的Gibbs测度构造。然后我们证明，在深水极限下，ILW的Gibbs测度在总变差意义上收敛于Benjamin-Ono方程（BO）的Gibbs测度。在浅水情形，经过缩放变换后，我们证明当 $\delta \to 0$ 时，缩放后ILW的Gibbs测度弱收敛于Korteweg-de Vries方程（KdV）的Gibbs测度。我们指出这第二个结果尤为有趣，因为缩放后ILW与KdV的Gibbs测度相互奇异（而ILW与BO的Gibbs测度等价）。我们还讨论了相关动力学问题的收敛性。最后，我们指出我们的结果也适用于散焦情形的广义ILW方程，其在深水极限收敛于广义BO，在浅水极限收敛于广义KdV。然而，在非散焦情形，由于相应Gibbs测度不可正规化，我们的结果无法推广到更高幂次的非线性项。