中间长波方程的深水与浅水极限

本文研究中间长波方程（ILW）关于深度参数 $\delta>0$ 在实数轴和圆上的低正则性收敛问题。作为 Korteweg-de Vries（KdV）方程与 Benjamin-Ono（BO）方程之间自然的桥梁，ILW 方程具有物理意义。我们证明，在 $H^s$-Sobolev 空间中当 $s>\frac12$ 时，ILW 的解在深水极限（当 $\delta\to\infty$）下收敛于 BO 的解，在浅水极限（当 $\delta\to 0$）下收敛于 KdV 的解。这改进了 Abdelouhab、Bona、Felland 和 Saut（1989）先前的收敛结果，其要求深水极限下 $s>\frac32$、浅水极限下 $s\geq2$。此外，收敛结果也适用于广义 ILW 方程，即非线性项为 $\partial_x (u^k)$（$k\geq 2$）。进一步，本工作给出了圆上广义 ILW 解在正则性 $s\geq \frac34$ 下的首批收敛结果。总体而言，本研究为 ILW 方程及其解在不同水深下的行为提供了数学见解，并对各种环境中的波动行为预测与建模具有启示意义。