论拓扑全群的 Koopman 表示生成的 C*-代数

设 $(X,T,\mu)$ 为一个康托极小系统，$[[T]]$ 为相应的拓扑全群。我们分析 $C^*_\pi([[T]])$，其中 $\pi$ 是 $[[T]]$ 在 $(X,\mu)$ 上的作用所对应的 Koopman 表示。具体地，我们证明 $C^*_\pi([[T]])=C^*_\pi([[T]]')$，并且由平凡表示的弱包含所导出的 $C^*_\pi([[T]])$ 上的特征标 $\tau$ 的核，是 $C(X)\rtimes\mathbb{Z}$ 的一个遗传 $C^*$-子代数。因此，$\ker\tau$ 稳定同构于 $C(X)\rtimes\mathbb{Z}$，且 $C^*_\pi([[T]]')$ 不是 AF 代数。我们还证明，若 $G$ 是一个有限生成的基本顺从群，且 $C^*(G)$ 具有实秩零，则 $G$ 必为有限群。