同时相似、有界生成与顺从性

我们证明离散群 $G$ 是顺从的当且仅当它是强酉可单位化的，意义如下：每一个在 $G$ 上的酉可单位化表示 $\pi$ 都能由 $\pi$ 的值域生成的 von Neumann 代数中选取一个可逆元来单位化。类似地，$C^*$-代数 $A$ 是核的当且仅当任意有界同态 $u: A\to B(H)$ 强相似于一个 $*$-同态，即存在由 $u$ 的值域生成的 von Neumann 代数中的可逆算子 $\xi$，使得 $a\to \xi u(a) \xi^{-1}$ 是一个 $*$-同态。一个类似的刻画用导子也成立。我们应用此结论回答先前工作中遗留的几个关于两个含单位 $C^*$-代数 $A$ 与 $B$ 的极大张量积 $A\otimes_{\max} B$ 的长度 $\ell(A,B)$ 的问题，此处我们考虑其子代数 $A\otimes 1$ 与 $1\otimes B$ 对该张量积的生成。我们证明若对 $B=B(\ell_2)$ 或当 $B$ 为非阿贝尔自由群的 $C^*$-代数（完全或约化）有 $\ell(A,B)<\infty$，则 $A$ 必为核的。我们还证明 $\ell(A,B)\le d$ 当且仅当从单位自由积 $A\ast B$ 到 $A\otimes_{\max} B$ 的典则商映射在限制到长度 $\le d$ 的词的闭线性张成上时仍是一个完全商映射。