分离图的 tame C*-代数的 K-理论

一个{\it 分离图}是一个对 $(E,C)$，由一个有向图 $E$ 和一个集合 $C=\bigsqcup_{v\in E^0}C_v$ 组成，其中每个 $C_v$ 是以 $v$ 为终点的边集的划分。给定一个分离图 $(E,C)$，使得所有集合 $X\in C$ 均为有限，已知图 C*-代数 $C^*(E,C)$ 的 K-理论由从 $\mathbb Z^{(C)}$ 到 $\mathbb Z^{(E^0)}$ 的某个映射（记为 $1_C- A_{(E,C)}$）的核和余核决定。在本文中，我们计算了与 $(E,C)$ 关联的{\it tame} 图 C*-代数 $\mathcal O(E,C)$ 的 K-理论，该代数最近由作者引入。令 $\pi$ 表示从 $C^*(E,C)$ 到 $\mathcal O(E,C)$ 的自然满同态，我们证明 $K_1(\pi)$ 是一个群同构，且 $K_0(\pi)$ 是一个分裂单射，其余核是一个无挠阿贝尔群。我们还证明，当图 $E$ 有限时，该余核是一个自由阿贝尔群，并根据自然依附于 $(E,C)$ 的分离图序列 $\{(E_n, C^n)\}_{n=1}^{\infty}$ 确定了其生成元。在展示我们主要结果的过程中，我们获得了出现在计算 amalgamated free product 的 K-理论的六项正合序列中的连接映射的显式描述，并展示了 $\mathrm{ker} (1_C - A_{(E,C)})$ 与 $K_1(C^*(E,C))$ 之间的显式同构。