局部有限图 $C^*$-代数的K-理论

我们通过Bass-Hashimoto算子计算了与无限局部有限图相关的Cuntz-Krieger代数 ${\cal O}_E$ 的K-理论。所得公式以纯图论术语表达了Grothendieck群和Whitehead群。我们考虑了具有特定图同态的有限（黑白、双向）子图范畴，并构造了一个到阿贝尔群的连续函子。在此范畴中，$K_0$ 是有限图K-群的归纳极限，后者已在文献 \cite{MM} 中计算。对于具有有限Betti数的无限图，我们得到了Grothendieck群 $K_0({\cal O}_E)= {\mathbb Z}^{\beta(E)+\gamma(E)}$ 的公式，其中 $\beta(E)$ 是第一Betti数，$\gamma(E)$ 是图 $E$ 的价数。我们注意到，在无限情形下，有限图中存在的 $K_0$ 的挠部分消失了。Whitehead群仅依赖于第一Betti数：$K_1({\cal O}_E)= {\mathbb Z}^{\beta(E)}$。这些结果使我们能够提供一个反例，反驳有限图中成立的结论，即 $K_1({\cal O}_E)$ 是 $K_0({\cal O}_E)$ 的无挠部分。