分离图的逆半群及其相关代数

本文引入了与分离图 $(E,C)$ 相关联的逆半群 $\mathcal{S}(E,C)$ 并描述了其内部结构。特别地，我们证明了它是强 $E^*$-单元的，并且可以实现为形式为 $\mathcal{Y}\rtimes\mathbb{F}$ 的偏半直积，其中自由群 $\mathbb{F}=\mathbb{F}(E^1)$ 对边集 $E$ 上的边在实现 $\mathcal{S}(E,C)$ 幂等元的半格 $\mathcal{Y}$ 上具有某种偏作用。此外，我们还描述了 $\mathcal{Y}$ 的谱以及紧谱。随后，我们利用逆半群 $\mathcal{S}(E,C)$ 来描述与 $(E,C)$ 相关的几种“温和”代数，包括其 Cohn 代数、Leavitt 路径代数，以及 $C^*$-代数领域中的类比，如温和 $C^*$-代数 $\mathcal{O}(E,C)$ 及其 Toeplitz 扩张 $\mathcal{T}(E,C)$，并证明了这些代数规范同构于依附于 $\mathcal{S}(E,C)$ 的某些代数。关于 $\mathcal{S}(E,C)$ 的结构结果表明，这些代数可以实现为偏 crossed products，从而揭示了它们结构的很大一部分。