关于 $n$ 维边界函数的 Baire 类

我们将 Kaczynski 的一个定理推广到 $n$ 维空间中的边界函数。设 $H$ 表示上半平面，设 $X$ 表示其边界即 $x$ 轴。假设 $f$ 是一个将 $H$ 映射到某个度量空间 $Y$ 的函数。若 $E$ 是 $X$ 的任意子集，我们称函数 $\varphi: E \rightarrow Y$ 是 $f$ 的边界函数，当且仅当对每个 $x\in E$ 存在 $x$ 处的一条弧 $\gamma$，使得 $\lim_{z\rightarrow x \atop z\in\gamma} f(z) = \varphi(x)$。