有界半连续函数之差, I

给出了 $D(K)$ 的结构性质,即度量空间 $K$ 上有界半连续函数(复值)之差构成的 Banach 代数。例如,证明了若 $K$ 的所有有限导集均非空,则复函数 $\varphi$ 在 $D(K)$ 上运算(即对所有 $f\in D(K)$ 有 $\varphi\circ f\in D(K)$)当且仅当 $\varphi$ 局部 Lipschitz。另一例:若 $W\subset K$ 且 $g\in D(W)$ 为实值,则证明了 $g$ 可延拓为 $D(K)$ 中的 $\tilde g$,满足 $\|\tilde g\|_{D(K)} = \|g\|_{D(W)}$。相当注意力置于 $SD(K)$——即 $D(K)$ 中简单函数集合在 $D(K)$ 中的闭包。从而证明了 $SD(K)$ 中每个元都是 $SD(K)$ 中半连续函数(复值)之差,且若 $f\in SD(K)$ 则 $|f|\in SD(K)$。给出了 $SD(K)$ 用超限振荡集刻画的内蕴特征。利用超限振荡,给出了 Chaatit、Mascioni 与 Rosenthal 结果的另证:有限 Baire 指标的函数属于 $SD(K)$,且对有趣的 $K$ 有 $SD(K)\ne D(K)$。证明了“变振荡准则”刻画了属于 $B_{1/4}(K)$ 的函数,从而回答了 Haydon、Odell 与 Rosenthal 早前工作中提出的公开问题。还证明了 $f$ 属于 $B_{1/4}(K)$ 当且仅当(若) $f$ 是一致有界 $D$-范数的简单 $D$-函数的一致极限,当且仅当 $\osc_\omega f$ 有界;最后的等价性也被 V.~Farmaki 用其他方法得到。