Baire-alpha 函数 Kuratowski 延拓定理的一种逼近形式

设 $\Omega$ 为完美正规拓扑空间，设 $A$ 为 $\Omega$ 的非空 $G_\delta$ 子集，并令 $B_1(A)$ 表示 $A$ 上所有 Baire 一类函数 $A\to\mathbb{R}$ 的空间。另令 $\|\cdot\|_\infty$ 为 supremum 范数。符号 $\chi_A$ 表示 $A$ 的特征函数。我们证明对每一个有界函数 $f\in B_1(A)$，存在 $\Omega$ 的既是 $F_\sigma$ 又是 $G_\delta$ 的子集序列 $(H_n)$，使得由 $\Omega$ 上一致收敛级数定义的函数 $\overline{f}\colon\Omega\to\mathbb{R}$：$\overline{f}:=c\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\left(\frac{1}{2}-\chi_{H_n}\right)$ 延拓 $f$，满足 $\overline{f}\in B_1(\Omega)$ 以及形如 $\|f(A)\|_\infty=\|\overline{f}(\Omega)\|_\infty$ 的条件（$\triangle$）。我们应用上述级数得到将正函数 $f$ 延拓为正函数 $\overline{f}$ 且满足 condition（$\triangle$）的延拓。类似技巧使我们能获得将 $A$ 上的 Baire-alpha 函数延拓为 $\Omega$ 上的 Baire-alpha 函数。